Nombres complexes : rotations, dilatations et spirales logarithmiques

Un nombre complexe z = x + iy rassemble deux coordonnées réelles. Il peut représenter un point, un vecteur, une amplitude et une phase, ou l’état d’un système oscillant. Sa puissance ne vient pas d’un symbole imaginaire mystérieux, mais d’une règle de calcul qui respecte la géométrie du plan.

Les notes du MIT dérivent la forme polaire et l’identité d’Euler qui relient coordonnées cartésiennes et coordonnées angulaires. ^[1] Dans cette représentation, additionner reste une addition de vecteurs; multiplier devient une combinaison particulièrement simple de rotation et de changement d’échelle.

Le module est une distance et ne peut être négatif. L’argument est un angle défini modulo 2π: le même point peut être décrit par θ, θ + 2π ou θ − 2π. La fonction atan2 est préférable à arctan(y/x), car elle conserve le quadrant et traite correctement l’axe vertical.

Choisir une valeur principale de l’argument impose une coupure de branche. Cette décision devient importante pour le logarithme complexe et les racines: on ne peut pas parcourir un tour complet autour de zéro tout en conservant partout un argument continu et monovalué.

Les modules se multiplient et les angles s’additionnent. Multiplier par $q=\rho e^{i\varphi}$ transforme donc chaque point par une dilatation de facteur ρ suivie d’une rotation φ autour de l’origine. Si ρ = 1, il s’agit d’une rotation pure; si φ = 0, d’une dilatation pure.

3.1 La même opération sous forme matricielle

Cette matrice montre ce que le langage complexe compresse. Deux équations réelles couplées deviennent une seule multiplication. Le gain n’est pas seulement esthétique: les compositions se calculent en multipliant les modules et en additionnant les phases.

Cette formule sépare deux dynamiques. Le facteur $e^{at}$ contrôle le rayon; le facteur $e^{ibt}$ contrôle l’angle. Pour a = 0, la trajectoire est un cercle. Pour b = 0, elle reste sur un rayon. Pour a et b non nuls, elle est une spirale logarithmique.

La page de géométrie des courbes de l’Université de Californie à Irvine écrit directement la spirale logarithmique sous forme complexe x + iy = exp((growth + i)t). ^[2] Cette équation ne prétend pas que toute exponentielle complexe est une spirale: le terme réel du coefficient est indispensable à l’évolution radiale.

À chaque étape, l’argument gagne φ et le module est multiplié par ρ. Si 0 < ρ < 1, les points convergent vers zéro; si ρ > 1, ils divergent; si ρ = 1, ils restent sur un cercle. Lorsque φ/2π est rationnel, les directions se répètent après un nombre fini d’étapes. Lorsqu’il est irrationnel, les directions ne se referment jamais exactement et deviennent denses sur le cercle pour ρ = 1.

La suite discrète et la courbe continue peuvent partager les mêmes points d’échantillonnage sans être le même objet. La première est une orbite d’un système dynamique discret; la seconde est une trajectoire paramétrée continue.

Dans les coordonnées (θ, ln r), une spirale logarithmique ln r = ln a + bθ devient une droite. Le logarithme complexe accomplit donc une opération géométrique profonde: il transforme multiplication en addition et croissance multiplicative en translation.

Mais Log est multivalué avant le choix d’une branche: ajouter 2π à l’argument ajoute 2πi au logarithme. L’origine est singulière, car ni l’angle ni le logarithme n’y sont définis. La spirale peut s’en approcher indéfiniment sans atteindre un point où sa phase resterait définie.

Dans une équation différentielle linéaire, une paire de valeurs propres a ± ib produit une combinaison de croissance ou décroissance $e^{at}$ et d’oscillation de fréquence b. Dans un plan de phase, la solution est un foyer spiralé lorsque a ≠ 0 et un centre circulaire idéal lorsque a = 0.

Ici, la spirale décrit l’évolution de deux variables d’état, pas nécessairement une trajectoire dans l’espace physique. Un circuit électrique amorti, une petite oscillation mécanique ou un modèle de population peuvent dessiner des foyers semblables tout en reposant sur des mécanismes causaux différents.

• Une rotation de phase n’est pas nécessairement une rotation matérielle.
• Un cercle de phase n’est pas une spirale.
• Une spirale dans un plan d’état n’est pas forcément visible dans l’espace.
• Deux systèmes partageant les mêmes valeurs propres locales peuvent différer loin de l’équilibre.
• Une belle écriture complexe n’établit aucune origine commune entre phénomènes.

Les nombres complexes sont le langage naturel des rotations parce que leur multiplication compose directement angle et échelle. La spirale logarithmique apparaît lorsque cette rotation s’accompagne d’une croissance ou d’une décroissance multiplicative. Le cas limite ρ = 1 rappelle la frontière conceptuelle essentielle: tourner n’est pas spiraler.