1. Introduction
La suite de Fibonacci — 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89... — est définie par la récurrence F(n) = F(n-1) + F(n-2). Introduite en Europe par Leonardo Fibonacci au XIIIe siècle pour modéliser la croissance d'une population de lapins, elle est aujourd'hui l'une des suites les plus étudiées en mathématiques, avec des connexions profondes à la géométrie, à la biologie et à la théorie des nombres.
2. Définition et propriétés
La formule de Binet donne le n-ième terme de Fibonacci en forme close :
où φ = (1+√5)/2 ≈ 1,618 et ψ = (1-√5)/2 ≈ -0,618. Puisque |ψ| < 1, le terme ψⁿ/√5 tend vers 0, et F(n) est le nombre entier le plus proche de φⁿ/√5.
3. Convergence vers φ
Le rapport F(n+1)/F(n) converge vers φ quand n → ∞. Cette convergence est remarquablement rapide : dès n = 10, le rapport 89/55 ≈ 1,6182 est précis à 4 décimales. La convergence est géométrique, avec un taux de convergence de |ψ/φ|² ≈ 0,146 par itération.
4. Fibonacci dans la nature
Les nombres de Fibonacci apparaissent dans la phyllotaxie (spirales de tournesol, écailles de pomme de pin), dans le nombre de pétales de nombreuses fleurs (3, 5, 8, 13, 21), dans la structure des inflorescences de brocoli romanesco, et dans les proportions de certaines coquilles. Ces apparitions sont liées à l'angle d'or et à l'optimisation de l'espace dans les systèmes à croissance continue.
5. Généralisations
La suite de Lucas (2, 1, 3, 4, 7, 11, 18...) suit la même récurrence avec des conditions initiales différentes. Les suites de Tribonacci (F(n) = F(n-1) + F(n-2) + F(n-3)) et leurs généralisations convergent vers d'autres constantes. La suite de Padovan et la suite de Perrin sont des variantes avec des propriétés arithmétiques remarquables.
6. Conclusion
La suite de Fibonacci est un exemple paradigmatique de la façon dont une règle récursive simple génère une structure mathématique riche. Sa convergence vers φ, ses apparitions dans la nature et ses connexions à la géométrie en font l'une des suites les plus importantes des mathématiques appliquées.